51

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

Могли бы вы выписать гиппрекомплексное число для приведённой диаграммы на основе:

http://hypercomplex.xpsweb.com/articles … /12-09.pdf

https://en.wikipedia.org/wiki/Octonion

https://github.com/Ignat99/physical-for … rmulas1.py

Общая идея, если мы можем среду представить 1 числом (пусть и гипперкомплексным, в котором содержаться основные свойства среды). То отпадает необходимость в моделировании другими способами и можно отнести эту область к ИИ моделированию среды. Я осознаю что это долгий путь, и что частично эти работы выполнены, но такого подхода, который я тут привожу до меня не приводилось. (Безусловно я стараюсь стоять на плечах гигантов Ньютон, Максвелл, Пуанкаре, Лоренц, и т.д.)

:-)

52

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

Поговорим о том, где на этих диаграммах находятся материальные уравнения.

http://homedevice.pro/wp-content/uploads/2015/08/IMG_20150815_210929-150x150.jpghttp://homedevice.pro/wp-content/uploads/2015/08/IMG_20150814_201338-150x150.jpg

Посмотрим полную когомологию для внешних производных и материальных уравнений для электрического поля.

Начнём с заряда (вершины левого нижнего куба) шаг в пространстве (градиент) получаем линейную плотность (рёбра павого нижнего куба) затем шаг через границу среды (обратный Ходж оператор - это и есть материальное уравнение один) получаем потенциал (вершины правого верхнего куба) далее шаг в пространстве (ротор) получаем Напряжённость E (грани верхнего левого куба) затем шаг черзе границу (Ходж оператор - 2 материальное уравнение [tex]\mathbf{D}=\varepsilon_0\varepsilon\mathbf{E}=\varepsilon_0(1+\chi_e)\mathbf{E}[/tex]) получаем Поляризованность D (грани нижнего левого куба) следующий шаг в пространстве (дивиргенция) получаем Плотность заряда (объём правого нижнего куба) далее граница через среду (обратный Ходж оператор - материальное уравнение 3) получаем Угловое ускорение (грани правого верхнего куба) далее шаг в пространстве (дивиргенция) Изменении дивиргенции B (которой не существует :-) во времени (которая существует :-) (объём верхнего левого куба) следующий шаг (Ходж оператор) переход к гиппер циклу по гипер  грани гиппер куба (есть только одна грань этого куба а самого этого куба целиком нет). А гиппер куб целиком есть в Квантовой Физике (Физике квантовых операторов) и правильно записанном уравнении непрерывности (где то я это выписывал, там ещё есть оператор ромб).

Как мы видим, структура подобно змее, которая откусывает себе хвост. Тоесть циклы, с переходом на каждом цикле к более сложным пространственным структурам. Это и есть волновой автомат Крона.

Точнее там 2 змеи. Вторая аналогичная связанная с магнитным полем.  Зеркально - симметричная относительно правой и левой диаграммы и закрученная в противоположную сторону (по часовой стрелке).  Там же будет материальное уравнение (при переходе от ребер верхнего правого куба H к граням нижнего правого куба B):

[tex]\mathbf{B}=\mu_0\mu\mathbf{H}=\mu_0(1+\chi_m)\mathbf{H},[/tex]

Вот вам собственно устройство (пространства - времени) и все остальные взаимодействия (характерные для тела человека) так же могут быть раскручены из этой структуры (всё в точности и полном соответствии со всеми научными монографиями).

Эту структуру впервые описал в своей работе Ньютон, откуда он её взял - загадка. Но свзана эта загадка с проективным отображением движения небесных тел на плоскость.

53

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

На мой взгляд случай именно тот. Я тут излагаю линейную систему, поверх которой (физическими процессами можно запустить нелинейные э/м волны, как впрочем и остальные типы волн). На основе этих волн можно делать логику, предсказания, решения и т. д.

54

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

Для ОТО (без квантовой хромодинамики) придётся диаграмму удвоить. Для квантовой хромодинамики - утроить. А для описания специальных взаимодействий в поле * - учетверить.

Вообщем на диаграмме полная система уравнени Максвелла и ЭДС самоиндукции и прочих уравнений электродинамики. Нет уравнений связанных с моментами и диполями ( отритцательными дифференциальными формами - но их можно изобразить по аналогии).

Вероятно можно использовать эти последовательности для вычисления параметров поля и прочих численных решений. Основное их назначение методическое - упрощение программирования симуляции реального физического окружения).

55

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

Пример:

http://hypercomplex.xpsweb.com/articles … /12-09.pdf

Вот эта статья о :

Я правлильно понял, что нильпотентов индекса 2


Всего одна и это

01
00

56

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

могу сделать вывод уравнения состояния энергии в колебательной системе с несущим сигналом. Впрочем о прецессии момент импульса тела вы слышали. То есть поверх электромагнитных волн могут быть энергетические взаимодействия (или если хотите упругие акустические) вполне нелинейные.

Как я писал ранее у нас 7 уровней, что в полне достаточно чтоб замкнуть самый верхний и самый нижний уровни.

Поясню на примере - у нас есть электрон - это квант. (5 уровень) Но при определённых условиях (например скорость) электрон порождает/испускает фотон (2 уровень - где то в районе Вектора Пойтинга - который есть векторное произведение.



А нелинейность мы получаем на уровне среды со сложными физическими свойствами (те самые тензоры, которые мы используем для операции Ходжа).

То есть поле испускаемых электронами фотонов по сути управляет (влияет) на характеристики излучения (временные параметры).

Ещё проще: допустим у вас есть дно моря, за рифом, песчаное.

Вот песчаное дно это нелинейный кристалл.
Так же у вас есть волны нескольких типов. Гармонические, круговые (частный случай), нелинейные. И есть мусор (или более крупные камешки чем песок). Так вот варьируя силу, длинну, фазу и дисперсию волн и скорость ветра (граничные условия), вы будете получать совершенно самоорганизующеся состояние дна, впрочем локально зависящее от профиля (начальных условий). Если же вы последуете изложенному мной алгоритму (когомологии) у вас появиться возможность в процессе расчёта менять граничные условия (высоту и форму нанесённого песка на берегу).

И самое главное, вы получите срыв волны (барашки) ту самую нелинейность в самоорганизации которую вы ищете.

Так вот ровно то же самое можно проворачивать прямо в электро-магнитно-диэлектрических системах или 3D структурах с резонаторами различного типа.

Лучшая из голов находила аналитические решения долько до 5 степени размерности (Пуанкаре). А тут 7 степень размерности.

4. Моделирование сделали ещё в 2003 году. Можно посмотреть и примеры симуляции и нелинейные эффекты.

https://e-reports-ext.llnl.gov/pdf/241640.pdf

5. Диаграмма законченная и точная.  Если простой скрипт лучше делает вывод для математики (что доказано) и для физики (что для специалистов объективно, то для остальных станет реальностью в ближайшее время). Дело не в логике а экспериментальных данных. Видимо поэтому во Франции и строят это сооружение - термоядерный реактор.

http://geektimes.ru/post/260302/

Вот ещё картинки. Диаграммы у него аналогичные Крону, но он не называет явно имена и не связывает с графом Десшампа (Уравнениями Максвелла):

http://thesis.library.caltech.edu/1885/ … hirani.pdf

Вот библиотека на Python для внешнего произведения (оператора набла) дискретных дифференциальных форм (Использует линейную систему но в барицентрических координатах - по сути метод Крона, только крон использовал так же и не линейные пространства):

http://arxiv.org/pdf/1103.3076v2.pdf
https://code.google.com/p/pydec/

На странице 29 описания вы видете расчёт резонатора по примерно тому же алгоритму, что я описал в связи с диаграммами. Как видим задача построения большинства физических структур может быть сведена к описанию в виде элементарного скрипта, следовательно по методике крона можно рассчитать и более сложные структуры, которые в частности будут соответствовать, например, непрерывной логике или моделируемому процессу внутри собираемого/разбираемого/проектируемого устройства.

57

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

The main advantage of the DEC discretization is its applicability to simulate the flow over arbitrary
curved surfaces, unlike the covolume approach.

Главное достижение этой библиотеки - возможность симулировать потоки над криволинейной поверхностью (гипперповерхностью). То есть не линейной поверхностью.

Тоесть, берёте карту потенциалов (например мозга для каждого нейрона) и симулируете себе наздоровье поток крови и сигналы нервной системы (например).

Статьи, как таким методом были "считаны" сны человека, я приводил. А с этим подходом можно достаточно однотипно делать симуляции в любой области физической материи. Что уже само по себе круто.

58

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

Сейчас продемонстрирую, как из уравнения непрерывности для электро-магнтного поля получить Теорема Пойнтинга.

Для начала ассоциативный вопрос. В обычной MIPS архитектуре часто операцию умножения сводят к серии операций уножения на 2. А операцию умножения или деления на степень 2 сводят к сдвиговым операциям (такое устройство для сдвига регистра было да же на первых MIPS).

Вопрос: Является ли аглоритм использования сдвиговых операций для умножения произвольного числа - эвристикой? Является ли эвристика ИИ? А посадка Бурана без вмешательства человека?

Так вот мы получим Теорему Пойтинга простым сдвигом Уравнения непрерывности.

Берём уравнение непрерывности в дифференциальной форме:

https://en.wikipedia.org/wiki/Continuity_equation

Все элементы этого выражения можно найти на диаграмме, которую я приводил ( с явными примитивами для каждого генерируемого параметра э/м материи). Но посмотрим на полную систему физических величин Плотникова (я знаю что для многих это будет шок - Луарвикам и душевнобольным лучше не смотреть )

plotnikovna.narod.ru/01.jpg

Требуется поворот таблицы.


Уравнение непрерывности находиться в 3 клетках - Плотность заряда, Плотность электрического тока и клетка справа от Плотности электрического тока. От плотности заряда к последней клетке идёт стрелка с пометкой T. Против направления стрелки - производная по времени (по направлению - интеграл).
(Плотность заряда, Плотность тока и клетка справа от Плотности тока (div J). Так же между div j и плотностью заряда есть стрелка T. Против направления стрелки это производная по времени.
)

Сейчас продемонстрирую, как из Уравнения непрерывности для электро-магнтного поля получить Теорему Пойнтинга.


https://en.wikipedia.org/wiki/Poynting%27s_theorem

Смотрим дифференциальную запись уравнения.

Плотность тока J умножить на E это наша сигма в Уравнении непрерывности.
Но сигма равна Плотности проводимости 1/(R*S) умножить на E. То есть сигма зависит от проводящей среды.

Вообщем берём наши три клетки со стрелкой (Плотность заряда, Плотность тока и клетка справа от Плотности тока (div J). Так же между div j и плотностью заряда есть стрелка T. Против направления стрелки это производная по времени.) и сдвигаем вверх на 2 клетки.

Это и есть то самое удвоение диаграммы.

Получается J попадает на место Вектора Пойнтинга, div J на место Спектральной плотности, Плотность заряда на место плотности энергии.

Можно сказать что Теорема Пойнтинга это аналог Уравнения непрерывности для оптических систем.

Получим закон сохранения энергии для электромагнитного поля:

Воспользуемся теоремой Остроградского—Гаусса. Просто сдвинем Уравнение теоремы Пойтинга влево на 3 операции [tex]\nabla[/tex]  набла (интегрирование по обёму - операторы Ходжа взаимно уничтожаются остаются обратные дивергенция ротор и градиен). Так что бы клетка плотность энергии совпала с энергией.

[tex]\oint_s\mathbf{S}\cdot d\mathbf{s}+\frac{d}{dt}\int_v(w_E+w_H)\,dv=0[/tex]

Понятно, что те же операции можно представить на волновом автомате крона, как я и говорил надо удвоить те 4 куба до 8 и приписать соответсвующие операции. Так например энергия будет находиться в том же месте где у первой диаграммы находился заряд.

59

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

Автор: гость


1.

если систему 'натаскать' на логику ИЗВЕСТНОЙ физики, то она будет детектором аномалий в ДОСТАТОЧНО прозрачных ситуациях - при рассмотрении же тех или иных асимптотических приближений, скажем, которые возникают на основе той или иной физической
интуиции такая система будет непригодна (за исключением тривиальных функций типа контроля размерности, корректности приведений, подстановок etc).


2. что в сложной системе обязательно появляются переменные описания ВНЕ физического контроля - все их значения совместимы с физикой, допустимы, разрешены - но какие именно реализуются значения свободных переменных (для которых НЕТ интегралов движения) определяется НЕ ФИЗИКОЙ, а историей системы, стечением обстоятельств, опытом системы в самосохранении и самоподдержании etc. ... но выбор конкретных движений (с разным смыслом ДЛЯ системы)
определеяется НЕ ФИЗИКОЙ, а логикой регуляции/управления.

грубое пояснение. Вот 'кронов автомат' фильтрующий мир. Он развитый, реагирует не на релизеры (признаки), а стрит образы. Вот он ОСВОИЛ логику 'рваного' мира - что образы одного и того же предмета могут не плавно перетекать 'в себя же' (гомеоморфно), а резко переключаться - смена ракурса при наличии граней etc. автомат как мультисеть связал под неким узлом несколько подсетей, сформировал 'видовой фрейм' предмета. А теперь автомат оказывается в составе более сложной инфлрмационной системы, которая не просто перцептирует предмет 'образно', но и cтроит репрезентацию ситуации, дифференцированной обстановки. Фрейм ситуации 'всегда открыт', есть много типовых
ситуаций (обощенных), но всегда много и нетиповых, всегла много в типовом нетипового (конкретного). - Трудно представить себе некую универсальную мульсеть, строящую репрезентации ЛЮБЫХ ситуаций. Верояно, что более адекватным решением будет то, что в системе, в ее инфраструктуре появится что-то ПОМИМО кроновых автоматов - что-то, что будет СОБИРАТЬ кроновы автоматы в СИСТЕМУ АВТОМАТОВ которая НЕ АВТОМАТ В КРОНОВОМ СМЫСЛЕ. Cитуационное рабочее поле, которое держит структуру, которую стараются апроксимировать кроновы автоматы (частичные, под известные системе предметы), но которое не есть кронов автомат ни само, ни в комплексе с ассоциированными к-автоматами. Это 'поле' по мере развития перцепции (и самовосприятия), перцепции рабочей обстановки (метаперцепции, рефлексии), по мере формирования контуров регуляции перцепции, метаперцепции, рабочих преобразований репрезентаций ВНЕ перцептивного цикла (т.е. формирования МЫШЛЕНИЯ) и становится ИНТЕЛЛЕКТОМ, причем явно не кроновым (cупракроновым) - в нем всегда будет сектор который НЕКРОНОВ (под него его кронова
автомата не синтезировано). интеллект как кронов сектор + некронов (если использовать кронову апроксимацию как базовую).

3. образец неадекватной ссылки - речь не о расчете посредством DDF нелинейных э.-м. полей (тензоры + ООP), а о ситуации 'свободной' логики (логики системы поверх физической логики), описанной выше. Речь не о логике распространения физического поля (волнах), а о логике антиципации, репрезентации, решения (упомянутых ВАМИ ЖЕ), аттенциональной логике (выделения важного), аппрезентации, меморизации etc. Когда работает ваш компьютер, то 'в конечном итоге' все делает физика, но смысл тому что происходит придает НИКАК не физика, а логика  (НАДФИЗИЧЕСКАЯ) организации системы физических процессов.

'умность' интеллектуальной машинки (даже как системы кроновых автоматов) проистекает из НЕКРОНОВА сектора системы (напр. из схемы рефлексии, схемы выделения важного (управляемая логика гейтов) etc etc), организованности памяти (адаптивный диспетчер также должен содержать некронов компонент)).

4. > Если простой скрипт лучше делает вывод для математики (что доказано) и для физики

даже для формальных выводов возможны очень трудные ситуации, когда поиск вывода реалистичен только на основе эвристик - а они могут быть не известны пруверу. Не говоря уже о СИНТЕЗЕ новых представлений и квазитеоретических высказываний

5. (гипотез, включая математические) - которые доказаны не могут быть пока не будет сформирована соотв. аксиоматика - процесс созревания аксиоматической теории постепенен, он направляется как раз обсуждением содержательных соображений о  высказанных теоремах-гипотезах, - возможны логические машины ''исчисления аргументов', но это НАДсистемы, они не восполняют дефолт базовых дедукторов (при перманентной дисконсистенции дедуктивной базы).

Можно до усирачки генерить сложность и по посинения считать нелинейные поля с помощью DDF, но это это может быть движением в изначально (принципиально) 'не том направлении' - как не сваливай в кучу ламповые телевизоры, как не уминай кучу, но если в системе нет принципиальных компонентов, то никак материал кучи не отформатируешь в кремневый чип.. Как не усложняй структуру, но если мы чего-то недопонимаем, когнитивный котел не зажжется..

1. Если вы посмотрите в таблицу СФВ, то увидите пустые места (клетки) и множество связей. Причём это связи не только относительно 2 клеток. Но связи внутри 4 , внутри 4 клеток со временем. 6 клеток (пример уравнения Максвелла). И более сложные связи (характерные для квантовой физики).

Так вот внутри табицы есть, как известные, так и неизвестные физические законы. То есть задачу работы физика удалось формализовать.

Вот ваши слова о подстановках это и есть тот баг в головах людей на преодоление которого потребуется ещё 15 лет. Доживут не все.

На самом деле там масса закономерностей (одну из которых я и показал связав уравнение непрерывности, теорему Пойнтинга  и закон сохранения энергии). Все эти физические закономерности на столько явные что методически их можно освоить за 10 класс средней школы и 1 курс института.

2. Постарайтесь более формально представить вашу модель. Не понятно о чём идёт речь. Я не приводил не каких примеров для использования волнового автомата для распознания предметов.
Я говорил о возможности симуляции системы. То есть для вашего примера, вначале делаются всевозможные измерения, создаётся геометрическая и физическая модель объекта. Для объекта делаются симуляции. Если модель адекватная мы получаем близкие к реальности значения.

Если не получаем, значит надо менять модель добавляя члены (например ряда Тейлора или делать другое сеточное разбиение и т.д.)

Если и в этом случае адекватных значений нет - значит задача для данного момента не решаемая.

Но это всё теория, а надо исходить из практики и начинать с простого, но работающего.

Так что желательно привезти модель (набор уравнений, тензор взаимодействия, нелинейные возмущения) и посмотреть на конкретном примере (если он у вас есть).

3. Полагаю анализ релевантных статей (построение моделей однотипных и совместимых) может дать необходимое дерево (онтологию) актуальных задач для физики. Далее заполнить пробелы (и поверьте даже это уже чересчур). Достаточно да же автоматически найти и указать на ошибки авторам (как правило в статье есть e-mail автора).

4. Интерпретация и смысл результата работы системы не являются частью системы. Поиск смысла или красивых названий можно оставить для всех желающих. Так как эти названия не влияют на результат проектирования.

Эвристики довольно легко находяться (пример одной из них я привёл на картинках, другие примеры есть в Американских статьях - там используются симплексы а дуальные пространства указаны красным цветом внутри объёма симплексов).

thesis.library.caltech.edu/1885/3/thesis_hirani.pdf
plotnikovna.narod.ru/spq/Hirani2003_thesis_seminar.pdf


Отличие моей системы в том - что её прямо и непосредственно можно реализовать в физическом устройстве. Можно так же собрать это на специальной ПЛИС с аналоговыми элементами. Кстати логику наблюдателя можно запустить там же на АРМ ядре (современные ПЛИС имеют цифровое ядро так же).

5. Эвристики над эвристиками я тоже приводил (хотя даже первый слой эвристик пока остался не понят). В частности две диаграммы которые есть на картинках (4 куба) задают вполне все электромагнитные явления. Такие же 4 куба поставленные рядом (где заряд заменён на энергию, линейная плотность на силу, потенциал на угол и т.д.) дают по сути ОТО описание. Только надо различать природу материи и масштабы и использовать соответствующие константы (Гравитация, Теромодинамика, Электродинамика и т.д.)

Аналогичная эвристика (заряд меняем на Эластанс, линейную плотность на  электрическую постоянную вакуума - на самом деле она не всегда постоянная и т.д.) получаем квантовую хромодинамику (правда надо уже рассматривать уравнения сразу для э/м волнового автомата и сильно-слабого волнового автомата с соответствующей топологией среды - отличной от э/м)

То есть это будет уже эвристика нового уровня - четырёхмерного гипперкуба.

Ещё одну эвристику по использованию гипперкомплексных числе для вычислений я планирую рассмотреть позже.

Повторяю ещё раз мы говорили об эвристиках следующего уровня после таблицы.

Стандартные табличные эвристики (первого уровня - которые реализованы в выложенном в открытый доступ скрипте) описаны тут:

http://plotnikovna.narod.ru/

60

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

Эвристики довольно легко находяться (пример одной из них я привёл на картинках, другие примеры есть в Американских статьях - там используются симплексы а дуальные пространства указаны красным цветом внутри объёма симплексов).

thesis.library.caltech.edu/1885/3/thesis_hirani.pdf
plotnikovna.narod.ru/spq/Hirani2003_thesis_seminar.pdf


Отличие моей системы в том - что её прямо и непосредственно можно реализовать в физическом устройстве. Можно так же собрать это на специальной ПЛИС с аналоговыми элементами. Кстати логику наблюдателя можно запустить там же на АРМ ядре (современные ПЛИС имеют цифровое ядро так же).

61

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

По словам Anil N. Hirani California Institute of Technology метод, тут описываемый применим для численных вычислений в области теории поля (упругости, жидкости и электромагнетизма) а так же в области компьютерного зрения и компьютерной графики.

Идея в том что сеткой представляются не только объекты, но так же и поля, которые их окружают. Кроме того определены операции для всех этих объектов (viz. div, grad and curl, with exterior calculus operators; viz. exterior derivative, Hodge star and wedge product).

Для этого метода есть примеры нахождения соответствия шаблону, восстановления изображений, сегментация изображений и вычисление минимального искажения карты. Метод годиться для численного интегрирования механических систем.


В методе для работы с дискретными дифференциальными формами (DDF) используются дискретные аналоги известных операторов (discrete exterior derivative (d), codifferential (δ) and Hodge star (∗) for operating on forms, discrete wedge
product (∧) for combining forms, discrete flat ([) and sharp (]) operators for going between vector fields and one forms and discrete interior product operator (iX) for combining forms and vector fields, discrete Lie derivative (£X) ,  discrete Laplace-Beltrami operator (∆) can be defined using the usual
definition of dδ + δd - при применении к функции это ∇2, который определяется как div ◦ grad).

Вопрос как встроить Римановы многобразия в произвольное R n-мерное пространство пока не разбирается. Так как это сделать можно множеством путей. Например: SO(3) можно встроить R9 с упрощениями  или в R4 с использованием кватернионов.

Из метода следует, что представление векторного поля как 0-forms с вектрорными значениями, позволяет объяснить не только существующие формулы но и позволяет найти новые формулы.

Что бы не забираться в дебри математики (которая тут на форуме не особо воспринимается)

https://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra

Но мы будем говорить о дискретной версии этой алгебры (то есть такой, которую можно использовать с помощью компьютера не только для печати сложных формул и вывода символьных решений, но и для получения финального численного результата).

Русской версии статьи в википедии нет, да и английская в процессе создания.

https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_ … r_calculus

посмотрим на финальную реализацию этой идеи о вычислении физических процессов с помощью разбиения пространства на симплексную (из треугольников) сетку и дополнения этой сетки дуальной с бароцентрическими координатами.

Всё что есть из доступного (опен соурсе) это PyDEC, a Python library for computations related to the discretization of exterior calculus.

svn checkout http://pydec.googlecode.com/svn/trunk/ pydec-read-only

62

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

i.> внутри табицы есть, как известные, так и неизвестные физические законы

это понятно, - что касается тензорного формализма самого по себе, то известно, что запись фундаментальных законов с его помощью как бы 'сверхабстрактно', допуская соотношения (законы), которые не представлены при записи исходных законов с
помощью менее абстракного формализма. Я как раз видел недавно нечто подобное на примере использования тензорной формы записи для анализа (и расчета) 'осложненной' гидродинамики. Авторы пытались идентифицировать некоторые 'нестандартные'
соотношения, которые помогли бы отобрать интересных кандидатов в решение (для проверки прямого счета). Или, с другого бока, если взять какой-нибудь нелинейный вариант ур. шредингера, то его решения будут допускать бесконечное число интегралов движения (неизвестных) и никакой формализм в принципе не подскажет - кроме интуиции и содержательных соображений о ситуации - какие соотношения (связи) важны, а какие нет - это я про то, что по-моему кто-то очень сильно торопится с мнением об автоматизации (исчерпывающей) мышления физика (даже физика).

63

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

Автор: гость


1.  это понятно, - что касается тензорного формализма самого по себе, то известно, что запись фундаментальных законов с его помощью как бы 'сверхабстрактно', допуская соотношения (законы), которые не представлены при записи исходных законов с
помощью менее абстракного формализма.

2. Я как раз видел недавно нечто подобное на примере использования тензорной формы записи для анализа (и расчета) 'осложненной' гидродинамики. Авторы пытались идентифицировать некоторые 'нестандартные' соотношения, которые помогли бы отобрать интересных кандидатов в решение (для проверки прямого счета).

3. Или, с другого бока, если взять какой-нибудь нелинейный вариант ур. шредингера, то его решения будут допускать бесконечное число интегралов движения (неизвестных) и никакой формализм в принципе не подскажет - кроме интуиции и содержательных соображений о ситуации - какие соотношения (связи) важны, а какие нет - это я про то, что по-моему кто-то очень сильно торопится с мнением об автоматизации (исчерпывающей) мышления физика (даже физика).

4. мне не понятно почему это баг, подстановка это фундаментальная операция во всех стандартных формализмах, наверное вы имеете в виду что-то свое.

5. но вот что важно. Вы говорите о потенциально неограниченном числе клеток в сфв, - а я сразу вспоминаю рассуждения кантора о разных ТИПАХ бесконечностей, об их иерархии. Вы можете до бесконечности идти в своем слое (типе) бесконечности, бесконечности ФИЗИЧЕСКИХ соотношений, но вы при этом не выйдите в НАДпространство ДРУГОЙ бесконечности, бесконечности киберфизических соотношений, скажем.

6. Пусть 'киберфизика' будет эйгеновой - в системе данных кинетик появится системный параметр - селективная ценность той ли ииной конфигурации системных факторов. НИКАКАЯ СФВ не представляет этого ТИПА переменных. В этом смысле и ваши рассуждения об эвристиках это рассуждения только об эвристиках соотв. онтологической страты.


7. cмотрите, если В ИТОГЕ все сводится к физике, это так, то ДАННОЕ состояние и динамику в ДАННОМ состоянии можно схватить в кроновом представлении с любой точностью, конечно.

8. НО если ЛОГИКА того как система пришла в это состояние (из множества примерно эквивалентых и разрешенных) и куда она будет эволюционировать из этого состояния (а интегралы СИСТЕМНОГО движения нам не известны в том смысле, как нам известны законы физики) нам не известна, - то именно в этом смысле наша апроксимация системы не полна и наши притензии провалятся как только мы захотим поуправлять системой (c достаточно
большой памятью). Нам придется либо сильно загрубить систему, либо мы потеряем контроль за системными трансформациями.

9. конечно, и моя единственная цель - чтобы вы сами хоть немного озаботились в своих притензиях на предмет их продуманности. как вы сами говорите - даже если вы не продумаете затронутый вопрос, он вас не заденет, то все равно хоть кто-то выживет 'в проблеме', преодалев статификационый барьер (о кот. говорил выше). (если, конечно, во всем этом есть хоть какой смысл.)

10. об этом вам и говорят как о несоответствии того, о чем вы говорите, и уровня притязаний (решение сверхзадачи). Вы зря пытаетесь затушевать это несоответсвие обилием самоцитирования и клонированием постов.

Спасибо за ваш ответ. Посты я клонировал стараясь сохранить смысл и избавить от не нужного флуда (иногда совсем не вежливого).

1. Лично для меня систематическая возможность генерировать физические законы является фундаментальным прорывом. И уже за одно это можно поставить памятники всем от Брауна до Плотникова. С другой стороны слишком простое устройство теории, наводит на мысли о искусственности построений. Но чтоб точно это выяснить необходимо проделать ту работу, которую делают наши современники Исмо Линделл из Финляндии, Хирани из Америки и др. (я знаю далеко не всех). Для меня это и есть самый настоящий прикладной ИИ, особенно интересный частные решения.

2. Всё что на пользу делу (в данном случае поиск новых решений) это хорошо. Пример: После того, как я ознакомился с уравнением Навье-Стокса, я попробовал симулировать вихри в тарелке с водой. Это было как раз во время написания скрипта по CФВ - 10 лет назад.

Конечно же я заметил что при столкновении вихрей на воде появляются более мелкие. Как и при исчезновении.

В то же время аналитическое решение из старой статьи Гельмгольца, конечно же не давало этого случая. А компьютерная численная симуляция у Хирани (с использованием диаграмм Десшампа-Крона-Плотникова) наглядно давала эти малые возмущения (при дисперсии вихря).

С точки зрения обыденной достаточно увидеть в тарелке и успокоиться, не пытаясь найти аналитического решения. Но не с точки зрения физика. Так как 1 найденное решения (как можно легко заметить) можно применить и в акустике и в электродинамике и да же в упругодинамике и много где ещё.

Поэтому если удастся сделать систему, которая классифицирует (предскажет) лучшие решения, то это будет очень здорово.

3. Уравнение Шредингера один из базовых примитивов в СФВ. Вы совершенно правы, что этим соотношением можно замостить всю таблицу, как кафелем кухню. Вся надежда на заданные конструкции (заданная алгебраическую геометрию - кватернионы например или октанионы) и на заданную геометрическую алгебру (условно систему отсчёта - когомологии) и на связи конкретных конструкций/моделей взятые из отобранных статей (считайте знания заимствованные у экспертов).
В качестве гипотезы, можно предположить возможность построения довольно полного списка таких связей (конкретный диф.ур. и метод его решения для конкретной модели).

Мне доводилось строить дерево-список партномеров для всех радиоэлектронных компонент, которые в принципе есть на рынке. В этом не было не чего необычного. Предполагаю, что и тут можно задать такое дерево.

4. Я интерпретировал ваши слова о подстановках так, что предлагаемая к рассмотрению система аналогична стандартному (SymPy например) пакету символьных вычислений. А это не так. Я предположил, что потребуется ещё 10-15 лет, чтоб большинство работающих в этой области людей увидели, что формализация  подобная математической (как в Вофльфрам-Математика) возможна и для физики. То есть не просто подстановки, а скажем вывод решения исходя из известного результата. Или поиск (трасировка) пространства множества решений методом лучей или волны. То есть не просто перебор, а практически автоматическая методика поиска решения для физики.

5. Я не планирую идти до бесконечности (как например Григорий в Гермионной сети). Я считаю что достаточно ограничиться 7 уровнями.

Каждый уровень состоит из условно квантов и условно поля. Сигнатура каждого уровня (каждого известного фундаментального физического взаимодействия) так же равна 7. Но размерность кванта и поля меняется.

Например для упругостатики - квант 3 (наше 3-х мерное измерение) + 4 для поля (по сути магнитные взаимодействия).

Для магнитостатики - квант 4, поле 3 и т.д. То есть материя неизменна, меняются измеряемые объекты.

В качестве гипотезы, предполагаю что высокочастотные сигналы пространства (отдельные квантовые частицы) могут выступать полем для достаточно крупных структур. Например разнесённые на большое расстояние связанные квантовые частицы.

То есть дойдя до очень мелких пространственных сигналов, мы как бы возвращаемся к пробелам (или знакам - ".", "|")  между фразами.

Но попытка выйти в гипотезе за пределы общепринятой метрики ОТО (я говорю про время t), вызвала очень сильную бурю флейма и да же обвинения в альтернативщине.

6. Приведите, пожалуйста, простейший пример - эйгеновой конфигурации системных факторов.

7. Мне кажется это само по себе ценно, что можно с данной точностью на основе условно кроновой методики (метод декопозиции доменов) представить множество систем (фильтров, антенн, резонаторов, механических систем и т.д.)

8. Возможно вы правы, есть определённые ограничения на объёмы анализируемых данных. Не хотелось бы замахиваться сразу на огромные объёмы. Однако, как я и говорил, есть готовые решения для маршрутизации сетей размером ((((((2 в степени 2) в степени 2)....) - всего 6 раз. Этого количество узлов достаточно для приличного комбинаторного взрыва.

9. Я могу только предположить как можно пройти через этот барьер. Но думаю, что это сделают последователи. (У меня есть положительный опыт среди моих бывших студентов - сейчас маститых инженеров - но это, конечно, целиком их заслуга - скорее вопреки глупости их руководителя  (то есть меня)).

10. Слоговый а затем буквенный алфавит в языкознании, Таблица умножения в математике, Переодическая система Менделева в химии, теперь вот СФВ в физике - дали возможность людям со средними способностями владеть сложными предметами. Уровень притязаний связан со знанием потенциальных возможностей которые открываются при методическом использовании СФВ студентами и инженерами и научными работниками

64

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

Автор: гость


1. конечно, но именно тут та поправка которая витает в облаках критики.
положим, морфологию мысли (нейродинамического процесса) описали как 'вихрь на вихре' (упоминал о проблеме глобальной регулярности N-SE https://terrytao.wordpress.com/2007/03/18/ ).

2. Но что помимо формы - содержание мысли? и что есть движение мысли в содержании? - возникает представление о взаимодействии СИСТЕМ вихрей, о межсистемных коллизиях. а именно эти коллизии регулярно не описать удовлетворительно (интеллект из некронова сектора, как я пытался говорить, для  коллизионных конфигураций движений просто НЕТ ЕЩЕ соотв. кронова автомата в системе).

3. Значит, главное, это не столько ОПИСАТЬ динамику некоторой формации, сколько ИМЕТЬ систему вместе с ее инфраструктурой (комплексную - и репрезентирующую, и классифицирующую, и интерпретирующую, и вырабатывающую критерии различения, грануляции, классификации, улучшения (оптимизации), успеха (эффективности) etc) - т.е. собственно интеллектуальную в полноте аспектов).

4. вы как кажется слишком привязались в физической специфике - но ограничения вполне понятны с уровня надфизического - с уровня логики (cвойства любого формализма вообще, ограничения проистекающие из общей теории поиска вывода (в том или ином
исчислении), проблемы индуктивной логики, проблемы трансдукции, проблемы логической семантики, проблемы металогики). тут есть нерешенные проблемы которые не позволяют 'закрыть' и вопросы на физическом уровне - на уровне физического
интеллекта и интеллекта вообще. общий надзор над общей проблемной ситуацией осуществляет метафизика, которую неосмотрительно неуважительно третировать.

5. - молекулы и механизм матричной репликации и редупликации, эйгенов гиперцикл

или, скажем, формальное рассмотрение систем кинетик у эбелинга-энгеля-файселя в 'физике эволюции' - когда выживание есть некий кооперативный (системный) эффект, когда выживает некая сеть межреакционных отношений, а не одна реакция. Это более
общий случай чем хакеновы выживания отдельной моды.

6. У них тоже возникает кластеризация системы, подобие кроновой доменной декомпозиции. Но поскольку система открыта и по веществу, и по энергии, и по управлению, то возникают проблемы с инвариантами, тензорами (тензор как группа преобразований с инвариантом) и удовлетворительно ('глобально') только кинетическое рассмотрение (включая и кинетический подход в статфизике). (в частности - кинетика накопления генетической  и эпигенетической информации (cтруктура кластера реакций ('псевдохимических') и межкластерных связей это эпигенетика тут)).

1. Я прочитал 1 раз сообщение по ссылке. Там речь идёт о стратегии к подходу по нахождению решения. Как я понял, автор предлагает вариант упрощения на основе фрактального - иерархического рассмотрения уровня энергии. То есть он хочет разбить самую верхний уровень (а Навье-Стокс занимает сразу 3 уровня) на домены, и сделать предположения об обмене энергии между этими доменами (пусть и с фрактальными масштабами). Интересная идея, жаль что у автора не нашлось времени довести идею до конкретного решения.

2. Вероятно вы правы. Я только знаю что колебания решётки или передачу энергии иногда проще рассматривать как отдельный носитель какого то физического параметра. Экситон, Плазмон, Фазон и т.д. например.

3. Отдельные исследователи (Дж. Линн в Англии) попытались воспроизвести самоорганизацию полиэдральной сети Крона алгоритмически c негативным результатом (не получилось самоорганизации - но вопрос остаётся - правильно ли считали?).

Надо смотреть и читать раздел - основные идеи.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1% … 0%BB%D1%8C

На картинках я впервые привёл полную схему полиэдральной сети (до меня, на сколько я знаю, этого сделано не было). Возможно, с учётом всех факторов, получиться найти нетривиальное решение, хотя бы приближённо, числено.

В. Попков о Кроне :

"Едва ли не самым перспективным направлением для развития концепции полиэдрального волнового автомата Крона является его идея, что полиэдр в задачах когнитивного типа (таких как, распознавание образов и др.) может играть роль «искусственного мозга», в котором каждый «нейрон» представлен магнитогидродинамическим генератором (обобщенной вращающейся электрической машиной). Такой тип искусственного мозга (динамо-тип или тип «энергетической сети») базируется на принципиально иной основе, чем ныне развиваемые модели искусственного мозга на основе коммутационных сетей (или сетей переключения)."

4. Шутка: Ну если только ввести должность при президенте России: Представитель презедента по метафизическому надзору. Так её уже ввели там в списке номер 1 - Горбацевич (он знает 2-3 уравнения, которые и использовал в своей единственной персональной не коллективной публикации, то есть метафизику знает хорошо а вот с физикой напряги - как результат они нашли таки бозон Хигса) - который и ставил мне задачу 1995 году по барацентрическому разбиению тетрайдерной сеткой.

http://fano.gov.ru/common/upload/librar … in/139.pdf

5-6. Не чего не могу сказать по этому поводу. Если знаете как, попробуйте сделать симуляцию или найти готовые результаты.


Предположение:



Пытаясь удовлетворить теорему Стокса при переходе волны через сети разной размерности, Крон установил факт (хорошо известный в геометрии), что четно-мерные пространства ведут себя отлично от нечетно-мерных пространств и, поэтому в полиэдре необходимо ввести две полные сети разной физической природы для генерации одной электромагнитной волны. В связи с этим Крон ввел обобщение, что все четно-мерные сети строятся из магнитного материала (квант 4 а сигнатура 7, дуальная поле-сеть размерность 3), а все нечетно-мерные сети из диэлектрического материала (квант 3 а сигнатура 7, дуальное поле-сеть 4). В двойственном полиэдре физическая роль пространств четной и нечетной размерности взаимно обращена.

Предположим для начала следующую структуру. Полосковый элемент возбуждается и даёт 4 электромагнитных луча. 2 преимущественно электрических и 2 преимущественно магнитных.

Электрические лучи заводятся в волноводы. Магнитные в диэлектрическую структуру из набора диэлектрических поверхностей (например типа сота).
Можно разместить волноводы внутри диэлектрической структуры. Это могут быть просто каналы в массиве диэлектрика. В узлах (пересечениях плоскостей и каналов можно разместить регуляторы магнитного потока в виде вводимых поляризованных сигнетоэлектриков. Для настройки волноводов можно предусмотреть отверстия и вводимые металлические винты или да же отверстия.

Электрическая сеть в такой системе служит только для подвода сигнала и начальной настройки параметров диэлектрической сети.

65

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

Автор: гость

i.> Попков

да, но нужна, повторяюсь, не частичная по функционалу самоорганизация (фильтрация, скажем, самосогласованная), но самоорганизация системная - чтобы фильтр был 'более чем фильтром' - чтобы не просто отфильтровывались модели, но чтобы сисема работала с моделями - а такая 'вторичная' фильтрация требует операционного механизма, менеджера работы с фильтрами, систему управления фильтрацией (первичной и вторичной). Т.е. управляющие фильтры насколько являются 'србственно' фильтрами? - ведь они должны нести библиотеки структур, что подразумевает иные внутренние задачи чем фильтрация.

да, когда я спросил * о том, что есть особо важного у крона, так я имел в виду в т.ч. и то, что идея двойственности глубоко зашита в его формализм (что, в общем-то, предопределено самой структурой поля).

и я хочу донести до вас генерализацию идеи кроновой двойственности - интеллект как машинка кроново-некронова (физика+информатика) (чтобы заново не повторять сказанное в серии предыдущих постов).

Не знаю, почему Крон а за ним и Попков Валериан <president-ibi@yandex.ru> решили что такой автомат будет хорошо работать для задач распознания (когнитивных - не люблю это слово, так как его применяют в педагогике, для машин это несколько не уместно  - не видел не одной машины, которую надо воспитывать).

По ссылке алгоритмы, которые используют ещё до начала распознания:

http://www.gotai.net/forum/default.aspx … 862#132862

Получается, что по идее Попкова Валениана все эти алгоритмы возникнут сами собой в волновом полиэдре - ну тогда и до гумункулуса рукой подать от того момента  :-)

У крона двойственность происходит из внешних открытых контуров. Он заметил что такие контуры с успехом формально можно заменить двойственным полем (сигнатура всей системы - размерность структуры). Да ему и не чего не оставалось делать - только это. Ведь у него ситуация - обмотка на роторе, обмотка на статоре, а между статором и ротором зазор диэлектрический. Понятно что энергия передаётся через зазор, но если аккуратно по теореме Стокса ( с учётом диаграмм Крона - Уравнений Максвелла) проинтегрировать,

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b3/Kron_spq.png

то заметно, что вдруг из вектора на 3-форме у нас получается 2-форма (плоскость), а  потом обратный процесс. Получается в зазоре нериманова геометрия - этакая круговая поляризованная э/м волна.

А вот почему он решил что из набора таких волн, можно сделать распознающую машину, я не знаю.
Буду надеяться, что размышление над ур. Навье-Стокса помогут (возможно потребуется добавить дополнительные уравнения).

66

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

Старый текст для студента о том как пользоваться скриптом:

Уравне́ния Навье́ — Сто́кса (NS)
http://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2% … _equations
Скрипт работает в демо режиме, поэтому алгоритм будем описывать на основе того что уже реализована.

Вначале решим задачу верификации этого уравнения. Так как если поставить сразу общую задачу вывода уравнения на основе заданных физических величин, то можно получить более общее уравнение чем необходимо.

Смотрим связь между скоростью и ускорением
http://plotnikovna.narod.ru/01.jpg
На системе их связывает стрелка T производная по времени (dT) или ход конём.
http://<ваш_сервер>/cgi-bin/abcd.pl?tpq=E&pq1=v_s
Или по выше указанной ссылке мы получаем связь между Ускорением (Е) и скоростью (v_s)
Связь показана дорожкой из жёлтых стрелок - умножение или деление на константы справа Eps_0 на скорость света в различных степенях. Для реальных солитонов и вихрей
используются константы из других разделов физики, например единицу делённую на постоянную гравитации и волновую скорость пакета волн.
Так же происходит умножение или деление на диф. по пространству, стрелки которого указаны сверху.

Так как скрипт в стадии разработки, то сокращения уже делаются, это сделано просто, занося аналогичные константы в стек или убирая из него в зависимости от того
происходит дифференцирование или интегрирование. Или выбрав наикратчайший путь из всех возможных. Так же можно добавить эвристики связанные с геометрическими или физическими моделями для выбора более подходящего пути (уже известной дороги).


Сократив константы вручную (взяв данные из отладочных сообщений) можно убедиться что их отношение равно dT.
Вместо ускорения стоит Напряжённость магнитного поля E потому что скрипт в демо-режиме выводит только физические электромагнитные величины (необходима информация о типе взаимодействия, которая сейчас не передаётся через параметры).

Но если Вы загляните в бумажный вариант таблицы то там в одной клетке и E и ускорение (а). Закон Куллона и занон притяжения - подобны. И есть связь между зарядом и массой через электрохимический эквивалент в-ва, взятый из справочника. В будущем, если оно наступит, данные справочника должны быть занесены в базу данных доступную для работы скрипта.

Это мы разобрали изменение скорости от времени в данной точке, например, воды ну скажем в тарелке с водой.

Теперь посмотрим изменение скорости для данной частички воды.
http://<ваш_сервер>/cgi-bin/abcd.pl?tpq=B&pq1=v_s

Скорость это 0-форма поэтому внешнее дифференцирование по скорости это градиент.
На скрипте вы видите две встречные стрелки умножения и деления на константу слева, которые сокращаются. И одну стрелку оператора набла который находиться в четвёртой графе сверху.
Если полученную величину умножить на скорость, то мы получим изменение скорости для данной частички вихря на воде.
http://<ваш_сервер>/cgi-bin/abcd.pl?tpq=B&pq1=E
Где для данного случая B это угловая скорость.

Другой путь для получения этой компоненты. Это перейти в цилиндрическую систему отсчёта и найти градиент от круговой скорости.
http://<ваш_сервер>/cgi-bin/abcd.pl?tpq=E&pq1=phi

Теперь посмотрим эту часть уравнения в целом:
http://<ваш_сервер>/cgi-bin/abcd.pl?tpq=E&pq1=phi&pq2=v_s&pq3=I&pq4=H&pq5=B&pq6=tau&pq7=D

Получился как бы цикл из 8 клеток. Соответственно полную Производную Лагранжа
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1% … 0%B6%D0%B0
мы можем получить найдя два кратчайших пути от v_s до E  и сложив их. Где как мы помним E это ускорение a, которое не показано явно в связи с тестовым характером скрипта.

Умножим производную Лагранжа от скорости на плотность
http://<ваш_сервер>/cgi-bin/abcd.pl?tpq=D&pq1=rho_e&pq2=E

rho_e - это плотность массы воды в данном случае (в тесктовом варианте показывает на аналогичную для электростатикеи величину - плотность заряда)

Под красным квадратиком в графе g_3 находиться продольная объёмная сила f_l, симметрично этого столбца распологаються величины 1-форма ускорения E и плотности 3-форма rho_e. При умножении мы получим 4-форму Удельный вес или объёмная сила.
http://<ваш_сервер>/cgi-bin/abcd.pl?tpq=gamma&pq1=rho_e&pq2=E&const=0

Итак мы описали воду в тарелке.
Следующий компонент уравнения это набла от давления или в нашем приближении форма тарелки и давление её стенок на воду.
http://<ваш_сервер>/cgi-bin/abcd.pl?tpq=gamma&pq1=P
Как обычно константы сокращаються и остаётся одна набла.
Вот мы и получили Уравнение Эйлера.
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_equations

Коэффицент динамической вязкости j (с обычной оговоркой о дургой природе сил) и ротор скорости дадут поперечную объёмную силу (f_c в графе g_3) или силу трения между слоями.
Что и является нелинейной частью нашего уравнения.
http://<ваш_сервер>/cgi-bin/abcd.pl?tpq=M_0&pq1=j&pq2=B

Тензор упругости это фактически дивергенция от 2-формы индукции упруго поля или просто жёсткости приведённая к возможным направлениям по осям базиса.
http://<ваш_сервер>/cgi-bin/abcd.pl?tpq=k

Осталаось добавить просто  обёмную силу или силу от ложки , которая создала вихрь в тарелке
http://en.wikipedia.org/wiki/Body_force
http://<ваш_сервер>/cgi-bin/abcd.pl?tpq=gamma

Вот таким образом мы описали алгоритм построения и дифф. уравнения Навье-Стокса снизу вверх.

Обратную задачу вывода этого уравнения через уточнение одного цика - Лагранжиана через другой цикл Производную Лагранжа, если бог даст я изложу в следующем сообщении.

67

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

Задача генерации уравнения Навье - Стокса сверху решается ещё проще.

Надо просто записать компоненты продольной силы f_l для всех трёх полей, упроугостатического, условно магнитостатического (поля угловых скоростей) и условно электростатического (поля ускорения)

Ложка:
По порядку - продольная объёмная сила f_l (графа g_3) или gamma(ложка)

http://<ваш_сервер>/cgi-bin/abcd.pl?tpq=gamma

Тарелка:
Далее компонетна связанная с давлением - Давление P умножить на градиент угла R=grad alpha
http://<ваш_сервер>/cgi-bin/abcd.pl?tpq=gamma&qp1=P&qp2=R
Они симметричны относительно столбца f_l и имеют отличный от него первый номер в графе g_2

Жир в воде:
Далее нелинейная компонента динамической вязкости H и лапласиан от Скорости M_0=rot div v_s
http://<ваш_сервер>/cgi-bin/abcd.pl?tpq=gamma&qp1=P&qp2=R&qp3=H&qp4=M_0
Они также симметричны относительно столбца f_l и имеют отличный от него первый номер в графе g_2

Вода:
Последняя компонента это Производная Лагранжа от скорости (См. описание о цикле ниже http://<ваш_сервер>/cgi-bin/abcd.pl?tpq=E&pq1=phi&pq2=v_s&pq3=B) E (как следует из предыдущей ссылки составная)умноженная на плотность массы rho_e

http://<ваш_сервер>/cgi-bin/abcd.pl?tpq=gamma&qp1=P&qp2=R&qp3=H&qp4=M_0&qp5=E&qp6=rho_e

Также даёт симметрию и произведение f_l

Кричим на тарелку с водой:
    Происходит Поглощение звука, локальное нагревание и локальное расширение воды :-)



Надо отметить что объёмная сила gamma может быть продольная и поперечная. В случае поперечной силы она будет так же зависеть от удельного акустического сопротивления j и в сложносоставной (структурной или неоднородной) среде описываться тензором или кантернионом.

68

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

Попробуем разобрать пример  Anil N. Hirani California Institute of Technology, как он использует exterior calculus для:

http://arxiv.org/pdf/1103.3076v2.pdf
(11.5 Least squares ranking on graphs)

Вычисления рангов на графе методом наименьших квадратов.

Проблема тут в том, что есть ряд отношений (игр) между вершинами (командами). Но не все команды играли друг с другом. Часть команд не встречалась лично но каждая команда возможно играла с одним и тем же дружественным клубом, либо такую связь можно найти через цепочку игр.

Таким же образом (если есть данные) можно обнаружить в круге взаимных кредитов (например стран Евросоюза) наиболее отчаянных должников или наоборот кредиторов.

Вершины образуют 0-форму, для каждой вершины надо приписать в результате вычислений её ранг.
Проведённые игры образуют 1-форму или рёбра симплексного комплекса. Используется простое правило ориентация ребра от большего номера (команды игроков) к меньшему (команде игроков).
Значение ребра равно разности между рангами вершины с меньшим номеров и вершины с большим номером (конечно если эти две команды играли). Примерно так, более подробно рассмотрим завтра.

Далее выделяются тройки взаимно игравших команд (2-формы, треугольники или 2-смиплексы) и для них путём Ходж преобразования. То есть ставиться точка в середине треугольника и ей приписывается значение полученное при суммировании всех значений рёбер (ну почти). Таким образом от каждой грани у нас снова получается 1-форма, но уже в дуальном пространстве.

Расчёт для простой сетки Ходж преобразования не простой, но попробуем разобраться завтра.

Подробнее этот пример разобран тут:
http://web.stanford.edu/~yyye/hodgeRank2011.pdf

Оказывается этот метод широко используют для проверки и ранжирования неполных данных в Интернете. Это граф-теоретический аналог оператора Гельмгольца или Лапрласиана. Мы будем смотреть барицентрические координаты Ходж Ранг.

Hodge or Helmholtz decomposition - это когда все потоки векторного поля мы разбиваем на 3 группы.

gradient flow (направление главного удара) - глобально не замкнутый поток.
harmonic flow (указывает на источники - div?) - локально не замкнутый, но глобально замкнутый.
curl flow (указывает на вращение) - локально замкнутый (соленоидальное поле).

В смысле дискретизации операторов для расчёта методом конечных элементов:

Граничный оператор состоит из суммы всех потоков. В случае симплекса (разбиения на треугольники): Градиент будет разность между соседними вершинами.
Ротор обход по всем ребрам тереугольника и сумирования по пути значений.
Дивергенция как результат суммы всех ориентированных роторов должна быть равна 0

Eесли это не так то методом взвешенного наименьшего среднего можно найти искомое решение. Для этого у нас должны быть свободные координаты х, у,  z - через которые выражена вся структура симплекса. По сути это тензор. Второй тензор для дуального поля, получаемый через Ходж оператор помогает сохранить информацию о поле для возможности обратного Ходж стар преобразования. Это будет поле "неотомщённых (потенциальных)" голов. Из которого снова можно восстановить турнирный граф.

"""
Least squares ranking on graphs.

Reference :

Least Squares Ranking on Graphs, Hodge Laplacians, Time Optimality,
and Iterative Methods
A. N. Hirani, K. Kalyanaraman, S. Watts
See arXiv:1011.1716v1 [cs.NA] on http://arxiv.org/abs/1011.1716

"""
from numpy import loadtxt
from pydec import abstract_simplicial_complex
from scipy.sparse.linalg import lsqr

# Load graph and edge values
data = loadtxt('data.txt').astype(int)
edges = data[:,:2]

# Create abstract simplicial complex from edges
asc = abstract_simplicial_complex([edges])

omega = data[:,-1] # pairwise comparisons
B1 = asc.chain_complex()[1] # boundary matrix
alpha = lsqr(B1.T, omega)[0] # solve least squares problem

# Set the minimum to 0
alpha = alpha - alpha.min()

print alpha

data.txt:

8 1 -9
5 10 8
9 3 -23
6 9 13
2 9 23
8 7 3
...

Вот таким же примерно способом можно получить численное решение уравнения Навье-Стокса, только метод наименьшего среднего будет взвешенный и зависеть от дополнительных коэффициентов (ложки, тарелки, вязкости "воды", и т.д.)

Можно предположить, что таким методом можно связать в единое поле показания от целой сети датчиков (возможно да же различной физической природы).

69

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

Автор: гость

i.> Гермионная сеть совсем отдельно от теории Крона, это скорее всего приближение фрактальных процессов

1.) тут не понятно - ведь гермионную сеть можно представить и как структуру над элементами (сетями в узлах), представляющими свойства э.-м. поля в данной точке (области).

2.) Фрактальный мотив присущ, кажется, и самому 'крону' - ведь подсеть это тоже сеть. если в узле другой элемент, то мы имеем иные по свойствам сети - сети кинетик (имунные, метаболитические), сети нейронов, сети коммуникаций, сети простых 'гермионов' (переключателей).

3.) Когда говорим о потоковом представлении системы, то нужно помнить как усложнение структуры самого потока (фрактальное описание турбулизированного режима), так и изменение самой системы потоков.

4.) 'Самоизменяться' может и волновой автомат и гермионная сеть, кажется что сеть-вообще более адекватно описывает самоизменение-вообще. зачем привязываться к логике 'самодействия' эл-м. поля при его нелинейном взаимодействии со средой, если асортимент переменных в этом случае достаточно ограничен?

5.) это как подобно тому что 'многое' можно отобразить на натуральные числа, также многое можно отобразить на эл.-м. динамику, но логика того что ПОВЕРХ не сводится ни к булевой алгебре, ни к логике чисел, ни к логике поля.. (cистема развивает локальные смыслы поверх к глобальной логике физического закона).

Спасибо за ваше сообщение, всегда внимательно читаю ваши советы и вопросы.

1.) Гермионную сеть можно представить как предсказывающий автомат над свойствами э/м поля в точках. Но пока этого не кто не сделал. Возможно что то поменяется в будущем.

2.) Да у Крона есть иерархия тензовров, но все его модели обладают конечным размером тензоров/матриц.

3.) Да безусловно согласен и совсем да же не знаю как к этому подступиться.

4.) Мне кажутся 3D структуры (материалы и среды с неоднородными свойствами) более интересны чем расчёт весов в Гермионной сети (тем более это требует больше ресурсов). Но в каком то сугубо прикладном случае или в случае систем не описываемых разряженными матрицами, вероятно, ваша посылка безусловно верна.

Есть ещё технологические проблемы. Сейчас пробуют совмещать кристаллы микросхем на уровне конденсаторных контактов. В случае корпуса обычного размера, вероятно электромагнитное поле (скорее магнитная или диэлектрическая сеть) выглядят интересными для будущих архитектур. Появляется некоторая возможность краткосрочно записывать состояния на электромагнитном поле. Или да же использовать электреты, для "проталкивания" информации (записанных уровней) с одного устройства на другое. В случае электретов есть стабильность во времени и тотальная экономия энергии.


5.) Есть книги Брауна, Васильева, статья Попкова по поводу использования троичной логики и более развитых вещей (не могу сейчас сказать точно детали, надо закончить чтение). Возможно, эти авторы уже написали хорошие идеи.

Например - Дж. Спенсер-Браун "Законы формы".
Spenser-Brown G. «Laws of Form»//BookMasters (Ashland,Ohio).1974

Автор: аdmax

Бутите любезны, объясните человеку средних интиллектуальных способностей, что такое "звезда Ходжа", Эйнштейн говорил что тот кто понимает может объяснить что угодно и 4-хлетней девочке

смотрел в викепедии ничего не понял, чистая абстракция, хотя матан лет 20 назад знал. Разъясмните пожалста на пальцах так сказать, на примерах smile

Переводит синее в красное. А когда применяют второй раз - то красное в синее, но иногда со сменой знака (направления обхода с почасовой на против-часовой).


http://inperc.com/wiki/images/a/af/HodgeDualsR3.png

С математической точки зрения - пример:
Тупо меняем (делаем подстановку) dx на dy dz
*dx = dy ^ dz
*dy = - dx ^ dz
*dz = dx ^ dy

* -  звезда Ходжа
^ - wedge product (∧ : Ω_k(M) × Ω_l (M) → Ω_(k+l) (M)) - другими словами прямое векторное произведение. Взяли два орта и векторно перемножили, но в базис записали не итоговый вектор (который перпендикуляный плоскости) а весь элемент плоскости с направлением.

С физической точки зрения - такой пример:
У вас есть контур с током (электрический магнит), который создаёт 2-форму магнитной индукции B ( этакие мнимые трубки внутри которых линии вектора H, если каждую трубку разрезать, то и будет синяя 2-cell  ячейка), и количество линий в таком разрезе не меняется  (Это солиноидальные линии магнитного поля они идут параллельно синей стрелке и на рисунке не показаны).

http://2.bp.blogspot.com/-XOAM1RgCnpY/UxjSc0Erj2I/AAAAAAAABDU/pv9lVkfljFA/s1600/fig2.GIF

Провод над магнитом это символ наблюдателя (на месте провода можно представить себе сенсор магнитного поля)

А перейти с помощью Звезды Ходжа можно от этих трубок к постоянному магниту с вектором намагниченности H. Форма при этом превратится в просто линии (Это солиноидальные линии магнитного поля они идут параллельно синей стрелке и на рисунке не показаны).

http://3.bp.blogspot.com/-Jck9bVjZlIA/UxjSVf7Z6EI/AAAAAAAABDM/5yNqd9efIK0/s1600/fig1.GIF
Получается что при переходе на границе магнита, происходит скачкообразное изменение H на B, но для обычных материалов в вакууме зависимость линейная - то есть через коэффициент умножения, который называется Магнитная постоянная. Не для вакуума нужен ещё один коэффициент.

Оператор Звезда Ходжа обозначается "*" - поэтому она и называется звезда.

Подробнее про самый современный на сегодняшний день аппарат математической физики:

Топологическая диаграмма физических операторов в форме волнового автомата Крона

На левой диаграмме можно увидеть чёрную плоскость B1 (2-cell ячейку) и выходящий из неё красный вектор H1 (в дуальном пространстве - это значит что H и B существуют одновременно)

70

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

Дальше материалы я буду помещать на английском и математическом языке. На вопросы буду отвечать на русском.

2.1. Smooth exterior calculus.

Differential geometry: Where the spirit of Grassman is preserved more it's differential geometry. After Elie Cartan's introduction of differential forms there was a tendency to abolish tensor algebra's "debauchery of indices" in favor of coordinate invariant notation because there is no global choice of coordinates on manifolds. Differential forms are Grassman's exterior forms that vary over a manifold, ie one generates exterior algebras over tangent spaces and takes smooth cross sections across the manifold. Of course, other Grassman type algebras can and are used instead. The advantage is that Grassman's definitions of operations are intrinsic, and automatically extend to bundles once some underlying structure is fixed (eg Riemannian metric for Clifford algebras). They can then be used to define differential operators that are explicitly invariant under transformations that preserve the underlying structure (eg defining codifferential using Hodge star).


A differential k-form when evaluated at a point is an antisymmetric multilinear map on the tangent space that takes k vector arguments and produces a real number. It is an object that can be integrated on a k-dimensional space. In exterior calculus, it only makes sense to integrate differential k-forms on a k-manifold.

Let M be an n-dimensional orientable Riemannian manifold (a manifold with an inner product on the tangent space at each point), TM the tangent bundle (disjoint union of the tangent spaces at all points of M), X(M) the space of smooth vector fields of hypercomplex number (Riemannian Clifford algebra) and Qk(M) the space of differential k-forms on M.

Then for a vector field V with components V1, V2 and V3, we have V[ = V1dx+V2dy+V3dz. If the inner product is not the standard one or the basis is not orthonormal then the relationship between a vector field and its flat in coordinates is more complicated.

Краткие комментарии: На симплексном многобразии (наборе треугольников) в каждой вершине определяем вектор гипперкомплексных чисел (те 4 куба, которые я рисовал на диаграммах выше). Так же определяем операцию  "flat" -  проекции гипперкомплесного числа (кубов) на симплексы (в общем случае это может быть и волнистая решётка в произвольном гладком базисе). Всё это мы делаем для того что бы определить дискретные операторы для численного решения уравнения NS.

71

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/Hopfkeyrings.jpg/250px-Hopfkeyrings.jpg

[tex]\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} -  \nu \nabla^2 \mathbf{u} = - \nabla w + \mathbf{g}[/tex], Eq, (0a)

[tex]\nabla \cdot \mathbf{u} = 0[/tex], Eq. (1a)

where

[tex]\rho[/tex] is the density,
[tex]\mathbf{u}[/tex] is the flow velocity,
[tex]\nu[/tex] is the kinematic viscosity
[tex]\mu[/tex] is dynamic viscosity, [tex]\nu = \frac{\mu}{\rho}[/tex]
[tex]\nabla[/tex] is the del operator.
p is the pressure
[tex]\mathbf{I}[/tex] is the identity matrix
[tex]\boldsymbol \tau[/tex] is the deviatoric stress tensor, which has order two,
w is the specific (with the sense of per unit mass) thermodynamic work, the internal source term,
[tex]\mathbf{g}[/tex] represents body accelerations (per unit mass) acting on the continuum, for example gravity, inertial accelerations, electric field acceleration, and so on.

For the special case of an incompressible flow, the pressure constrains the flow so that the volume of fluid elements is constant: isochoric flow resulting in a solenoidal velocity field with [tex]\nabla \cdot \mathbf{u} = 0[/tex].

[tex]\mathbf{u} \cdot \nabla = (u_x \frac{\partial}{\partial x} + u_y\frac{\partial}{\partial y} + u_z\frac{\partial}{\partial z})[/tex]

Substituting with the tensor identities (expressions 1):

[tex]\nabla^2 \mathbf{u} = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{u}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{u})[/tex] and

[tex](\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} = \frac{1}{2} \nabla (\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}) - \mathbf{u} \times (\nabla \times \mathbf{u})[/tex],

and considering the incompressibility condition [tex]\nabla \cdot \mathbf{u} = 0[/tex], Eq. (0a) can be expressed in its rotational form as

[tex]\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \nu \nabla \times \nabla \times \mathbf{u} - \mathbf{u} \times (\nabla \times \mathbf{u}) + \nabla p^d = 0[/tex],

where p^d is the dynamic pressure defined as [tex]p^d = p + \frac{1}{2} (\mathbf{u} \cdot \mathbf{u})[/tex].

72

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

Автор: *

Надо полагать они функционально связаны.

This is a solution in a non-viscous gas (compressible fluid) whose density, velocities and pressure goes to zero far from the origin. (Note this is not a solution to the Clay Millennium problem because that refers to incompressible fluids where \rho is a constant, neither does it deal with the uniqueness of the Navier–Stokes equations with respect to any turbulence properties.) It is also worth pointing out that the components of the velocity vector are exactly those from the Pythagorean quadruple parametrization.

Примитивная пифагорова четвёрка (a,b,c,d), параметризованная с помощью (m,n,p,q), соответствует первому столбцу матричного представления E(\alpha) сопряжения [tex]\alpha(\cdot)\overline{\alpha}[/tex] с помощью кватерниона Гурвица [tex]\alpha = m + ni + pj + qk[/tex] суженого до подпространства [tex]\mathbb{H}[/tex], натянутого на i, j, k

[tex]E(\alpha) =\begin{pmatrix} m^2+n^2-p^2-q^2&2np-2mq        &2mp+2nq        \\ 2mq+2np        &m^2-n^2+p^2-q^2&2pq-2mn        \\ 2nq-2mp        &2mn+2pq        &m^2-n^2-p^2+q^2 \\ \end{pmatrix}[/tex] ,
где столбцы попарно ортогональны и каждый имеет норму d.

Для реальной турбулентности надо учитывать продольную и объёмную вязкость, отказаться от подбора параметров характерных для параллепипедов, учитывать уравнение теплопроводности и уравнение состоянее, рябь на поверхности воды через теорему Пойнтинга.

Получается так много операторов, что числовые решения не устойчивые, так что скорее всего, динамические граничные условия для вектора внешней силы, могут дать какое-то решение.

По этим причинам я не планирую аналитически или числено получать решения для турбулентности полноценной сжимаемой жидкости, но можно сделать полноценное выполнение такого турбулентного потока на Кроновом волновом автомате (полиэдре) выполненном из волноводов и диэлектрических фильтров магнитного поля.

73

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

Then for a vector field u with components u_x, u_y and u_z, we have operation "flat"

[tex]\mathbf{u}^\flat = \mathbf{u} \cdot \nabla = (u_x \frac{\partial}{\partial x} + u_y\frac{\partial}{\partial y} + u_z\frac{\partial}{\partial z})[/tex]

If the inner product is not the standard one or the basis is not orthonormal then the relationship between a vector field and its flat in coordinates is more complicated.

Some idea about use Averaged Equations for Template Matching Equations. This method uses a dynamic equation and it good for Kron polyhedron.

http://www.math.uiuc.edu/~hirani/papers … MMCVPR.pdf

Differences from the Navier-Stokes equations in one term:

[tex]\nu \nabla^2 \mathbf{u} <-> ( div \mathbf{u})\mathbf{u}[/tex]

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bf/Exteriorderivnatural.png

[tex]\Omega^k(N)[/tex] is k-dimensional orientable Riemannian manifold
[tex]\Omega^k(M)[/tex] is k-form the manifold
[tex]\Omega^{k+1}(N)[/tex] is (k+1)-dimensional orientable Riemannian manifold
[tex] \Omega^{k+1}(M)[/tex] is manifold the space of (k+1)-forms

If a k-form is thought of as measuring the flux through an infinitesimal k-parallelepiped, then its exterior derivative can be thought of as measuring the net flux through the boundary of a (k + 1)-parallelepiped.

In [tex]R^3[/tex], for a scalar function f and vector field F , some important relationships involving flat/sharp operator are:

http://upload.wikimedia.org/math/c/b/5/cb5f030bd6fccc7df5d7cc7cf58fcc19.png

The exterior derivative of a differential form of degree k is a differential form of degree k + 1.

Making substitutions in expressions 1:

[tex]*d(*d\mathbf{u}) = [d(*d(*\mathbf{u}^\flat))]^\sharp - ([*(d([*(d\mathbf{u}^\flat)]^\sharp)^\flat)]^\sharp)[/tex] and

[tex](\mathbf{u}^\flat)\mathbf{u} = \frac{1}{2} [d(\mathbf{u} \cdot \mathbf{u})]^\sharp - \mathbf{u} \times ([*(d\mathbf{u}^\flat)]^\sharp)[/tex].

http://www.geometry.caltech.edu/Images/DDForms.jpg

If we define the operation for the dual polyhedra (bottom row), then the arrows to the operator of the Discrete exterior derivative will be directed in the opposite direction, similar to the top row.


The device and the circuit of the expression 1 can be seen in the diagrams.

http://homedevice.pro/wp-content/uploads/2015/08/IMG_20150815_210929-150x150.jpghttp://homedevice.pro/wp-content/uploads/2015/08/IMG_20150814_201338-150x150.jpg

The speed [tex]\mathbf{u}[/tex] corresponds to the the Vector potential A on diagram (because SI these physical quantities have the same dimension).

We find the chain for [tex]*d(*d\mathbf{u})[/tex]:

A->B*->H->J<-* div B

Chain for [tex][d(*d(*\mathbf{u}^\flat))]^\sharp[/tex]. It will be on simplex complex chain and cochain:

A*->I->H<-*B->div B

Chain for [tex] [*(d*(d\mathbf{u}^\flat))]^\sharp[/tex]. It will be on simplex complex chain and cochain:

A->B*->H->J<-* div B

This expression reflects hyper wave propagation in the opposite direction (from distributed to concentrated parameters), therefore in terms of opposite sign.

The difference is that the operators (I->H, H->J) d differ for simplex cochain then for smooth manifold.

These expressions are equivalent to ordinary derivative (ie the difference) and not the exterior derivative forms.

The discretization of NS equations is then derived for 1D and 3D and 5D cases.

74

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

Kron's famous essay about a negative resistor (Zero Point Energy Source). In fact, it is about the efficient numerical solution of large-scale four-dimensional electromagnetic problems like Partial Differential Equations (PDE) by Computer-Aided Engineering (CAE).

Recently, the Discrete Geometric Approach (DGA) gained popularity, becoming
an attractive method to solve Boundary Value Problems (BVP) arising in various physical theories, see for example:

http://zpesource.com/wp-content/uploads … aper1..pdf

G. Kron, Numerical solution of ordinary and partial differential equations by means of
equivalent circuits, J. Appl. Phys., 126 (1945), pp. 172–186.

http://zpesource.com/wp-content/uploads … paper2.pdf

75

Re: Исполльзование суперформ для основных дифференциальных уравнений общей

Substituting with the tensor identities (expressions 1):

[tex]\nabla^2 \mathbf{u} = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{u}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{u})[/tex] and

[tex](\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} = \frac{1}{2} \nabla (\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}) - \mathbf{u} \times (\nabla \times \mathbf{u})[/tex],

and considering the incompressibility condition [tex]\nabla \cdot \mathbf{u} = 0[/tex], Eq. (0a) can be expressed in its rotational form as

[tex]\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \nu \nabla \times \nabla \times \mathbf{u} - \mathbf{u} \times (\nabla \times \mathbf{u}) + \nabla p^d = 0[/tex],

where p^d is the dynamic pressure defined as [tex]p^d = p + \frac{1}{2} (\mathbf{u} \cdot \mathbf{u})[/tex].

Making substitutions in expressions 1:

[tex]*^{-1}d(*d\mathbf{u}) = [d(*d(*\mathbf{u}^\flat))]^\sharp - ([*^{-1}(d([*(d\mathbf{u}^\flat)]^\sharp)^\flat)]^\sharp)[/tex] and

[tex](\mathbf{u}^\flat)\mathbf{u} = \frac{1}{2} [d(\mathbf{u} \cdot \mathbf{u})]^\sharp - \mathbf{u} \times ([*(d\mathbf{u}^\flat)]^\sharp)[/tex].

Substituting with the following identities:

[tex](\nabla \times \nabla \times \mathbf{u})^\flat = (-1)^{N+1} *^{-1}d*(d\mathbf{u}^\flat)[/tex],
[tex](\mathbf{u} \times (\nabla \times \mathbf{u}))^\flat = (-1)^{N+1} *^{-1}(\mathbf{u}^\flat \wedge*(d\mathbf{u}^\flat))[/tex],
[tex](\nabla \cdot \mathbf{u})^\flat = *^{-1}d*\mathbf{u}^\flat[/tex],
[tex](\nabla p^d)^\flat = dp^d[/tex],

where * is the Hodge star and [tex]*^{-1}[/tex] is the transpose Hodge star, d is the exterior derivative, and ^ is the wedge product operators.
The action of the flat operator ([tex]\flat[/tex]) on a vector u transforms it into a 1-form [tex]u^\flat[/tex].

Substituting with Eqs. (3) in Eqs. (0) and (1), the Navier-Stokes equations are then expressed as (expressions 4):

[tex]\frac{\partial \mathbf{u}^\flat}{\partial t} + (-1)^{N+1}\nu *^{-1}d*(d\mathbf{u}^\flat) + (-1)^{N+2} d*^{-1}_F(\mathbf{u}^\flat \wedge*(d\mathbf{u}^\flat)) + dp^d = 0[/tex],
[tex]*^{-1}d*\mathbf{u}^\flat = 0[/tex]

where p^d is the dynamic pressure defined as [tex]p^d = p + \frac{1}{2} (\mathbf{u} \cdot \mathbf{u})[/tex], the velocity field now is represented by the 1-form [tex]\mathbf{u}^\flat[/tex] and [tex]p^d[/tex] is now the dynamic pressure 1-form.